本章のまとめ
練習問題解説
問$4$.$1$
$[1]$
$\sigma^2=4$と考える際に$\displaystyle Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$が成立する。よって、$N(0,1)$の上側$5$％点を$z_{\alpha=0.05}$とするとき、$\mu=0$に対して下記が成立すれば帰無仮説を棄却する。
$$
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\begin{align}
\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} & > z_{\alpha=0.05} \\
\bar{X} & > z_{\alpha=0.05} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} + \mu \\
&> 1.645 \times \frac{2}{\sqrt{n}}
\end{align}
$$
よって定数$c$は下記のように表すことができる。
$$
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\begin{align}
c &= 1.645 \times \frac{2}{\sqrt{n}} \\
&= \frac{3.29}{\sqrt{n}}
\end{align}
$$
$[2]$
$$
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\begin{align}
\frac{\mu_1-\mu_0}{\sqrt{\sigma^2/n}} & \geq z_{\alpha=0.05} + z_{\beta=0.1} \\
n & \geq \frac{\sigma^2 (z_{\alpha=0.05} + z_{\beta=0.1})^2}{(\mu_1-\mu_0)^2} \\
&= \frac{2^2 (1.645+1.28)^2}{(1-0)^2} = 34.2225
\end{align}
$$
よって、$n \geq 35$である必要がある。
問$4$.$2$
$[1]$
$\displaystyle Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
z_{\alpha/2} \leq & Z \leq z_{1-\alpha/2} \\
z_{\alpha/2} \leq & \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \leq -z_{\alpha/2} \\
z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \bar{x}-\mu \leq -z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \\
-z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \mu – \bar{x} \leq z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \\
\bar{x}-z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \mu \leq \bar{x}+z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \quad (1)
\end{align}
$$
$[2]$
正規分布$\mathcal{N}(\mu,1^2)$の尤度関数の$L(\mu)$は標本平均$\bar{x}$について単調尤度比を持つ。
$$
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\begin{align}
\left\{\bar{x} \middle| \bar{x} < a \, \mathrm{or} \, b < \bar{x} \right\} \quad (2)
\end{align}
$$
よって上記のように表される検定の「①有意水準が$\alpha$」で「②不偏」の場合を考えれば良い。正規分布に基づく検定が「②不偏」であるには棄却域が左右対称であるので、棄却域が左右対象で「①有意水準が$\alpha$」の場合は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\left\{\bar{x} \middle| \bar{x} – 0 < \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \, \mathrm{or} \, \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} < \bar{x} – 0 \right\} = \left\{\bar{x} \middle| |\bar{x} | > \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \right\}
\end{align}
$$
「不偏」の定義に関連する正規分布の検出関数は下記などで取り扱った。
$[3]$
$(1)$式より$\mu=0$は$100(1-\alpha)$％区間に含まれることが確認できる。また、$(2)$の棄却域に含まれない区間が$(1)$の区間に一致することは$(1), (2)$式より確認することができる。
参考
・統計検定$1$級 統計数理 関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_math