「統計検定1級テキスト」 練習問題解答例 Ch.4 「仮説検定」

本章のまとめ

練習問題解説

問$4$.$1$

$[1]$
$\sigma^2=4$と考える際に$\displaystyle Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$が成立する。よって、$N(0,1)$の上側$5$%点を$z_{\alpha=0.05}$とするとき、$\mu=0$に対して下記が成立すれば帰無仮説を棄却する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} & > z_{\alpha=0.05} \\
\bar{X} & > z_{\alpha=0.05} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} + \mu \\
&> 1.645 \times \frac{2}{\sqrt{n}}
\end{align}
$$

よって定数$c$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
c &= 1.645 \times \frac{2}{\sqrt{n}} \\
&= \frac{3.29}{\sqrt{n}}
\end{align}
$$

$[2]$

問$4$.$2$

$[1]$
$\displaystyle Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
z_{\alpha/2} \leq & Z \leq z_{1-\alpha/2} \\
z_{\alpha/2} \leq & \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \leq -z_{\alpha/2} \\
z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \bar{X}-\mu \leq -z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \\
-z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \mu – \bar{X} \leq z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \\
\bar{X}-z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \leq & \mu \leq \bar{X}+z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}
\end{align}
$$

$[2]$

$[3]$

参考

・統計検定1級 統計数理 関連まとめ
https://www.hello-statisticians.com/stat_certifi_1_math