当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$19$の「行列のランク」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$19.1$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記に対し、$A^{\mathrm{T}}$を下記のように定める。
$$
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\begin{align}
A^{\mathrm{T}} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記では$\mathbf{a}_{2} = 2 \mathbf{a}_{1}$が成立するので、$\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})=1$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
M(A^{\mathrm{T}}) = \left\{ y : y=c_1 \mathbf{a}_{1} = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} c_1 \\ -c_1 \\ 2c_1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
また、$\dim{M(A^{\mathrm{T}})}=1$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は$\mathbb{R}^{3}$で原点を通る$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right)$に平行な直線である。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記に対し、$A^{\mathrm{T}}$を下記のように定める。
$$
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\begin{align}
A^{\mathrm{T}} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 3 & 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記では$\mathbf{a}_{2} \neq c \mathbf{a}_{1}$であるので、$\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})=2$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
M(A^{\mathrm{T}}) = \left\{ y : y=c_1 \mathbf{a}_{1} + c_2 \mathbf{a}_{2} = c_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) + c_2 \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} c_1+2c_2 \\ c_1-c_2 \\ 3c_1+3c_2 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
また、$\dim{M(A^{\mathrm{T}})}=2$であり、$M(A^{\mathrm{T}})$は$\mathbb{R}^{3}$で原点を通る$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$と$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$が張る平面である。