Helmert変換に使用される行列が直交行列であることを具体的に確認する

$A^{T}A=I$が成立する行列$A$は直交行列と定義されるが、多次元正規分布の理解を始め、様々なところで直交行列は出てくる。標本分散が$\chi^2$分布に従うことを示すにあたって用いられるHelmert変換にも直交行列が用いられる。
Helmert変換で用いられる行列は手順に沿って作成されるが、抽象的に手順だけを抑えるよりも具体的な行列で確認した方がわかりやすいと思われるため、当記事ではHelmert変換で用いられる行列について具体的に確認する。
作成にあたっては「現代数理統計学（学術図書出版社）」の4.3節の「正規分布のもとでの標本分布論」や章末問題の4.2を参考とした。

概要の把握

直交行列の定義

https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/multi_norm_dist1.html#i-2
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/multi_norm_dist1.html#i-3
上記に詳しくまとめたが、$\mathbf{U}^{T}\mathbf{U}=\mathbf{U}\mathbf{U}^{T}=\mathbf{I}$が成立する行列$\mathbf{U}$を直交行列という。

名称の通り、直交するベクトルを正規化し、並べることで直交行列は作成することができる。

Helmert変換における行列

前項では直交行列の定義について確認を行ったが、当記事ではHelmert変換の際に用いる行列も直交行列であるということを具体的に確認する。当項ではHelmert変換の際に定義する行列について確認する。
Helmert変換に用いる行列を「現代数理統計学（学術図書出版社）」4.3節の「正規分布のもとでの標本分布論」の表記を参考に$n$次行列$\mathbf{G}$とおくことにする。このとき、$\mathbf{G}$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{G} = \left( \begin{array}{cccccc} \frac{1}{\sqrt{n}} & \frac{1}{\sqrt{n}} & \frac{1}{\sqrt{n}} & \frac{1}{\sqrt{n}} & … & \frac{1}{\sqrt{n}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & … & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & … & 0 \\ … & … & … & … & … & … \\ … & … & … & … & … & … \\ … & … & … & … & … & … \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記では3行目までの記載を行ったが、以降の第$k$行は左から$k-1$個$1$が並び、その次の$k$列目が$-k+1$となるベクトルを作成し、それを$\sqrt{k(k-1)}$で割ることで正規化したベクトルで表される。説明ではわかりにくいので、詳しくは次節で取り扱う。

Helmert変換の行列を具体的に確認する

前節でまとめたHelmert変換を表す行列について、以下具体的に行列の次数ごとに確認を行う。

2次の行列

Helmert変換を表す2次の行列を$\mathbf{G}_2$とおくと、$\mathbf{G}_2$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{G}_2 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)
\end{align}
$$

以下、$\mathbf{G}_2$が直交行列であることを確認する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{G}_2^{T}\mathbf{G}_2 &= \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 & \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 & \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$\mathbf{G}_2$が直交行列であることが確認できる。$\mathbf{G}_2\mathbf{G}_2^{T}$も同様に単位行列となる。

3次の行列

Helmert変換を表す3次の行列を$\mathbf{G}_3$とおくと、$\mathbf{G}_3$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{G}_3 = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{array} \right)
\end{align}
$$

以下、$\mathbf{G}_3$が直交行列であることを確認する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{G}_3^{T}\mathbf{G}_3 &= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} & \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6} & \frac{1}{\sqrt{3}}+0-\frac{2}{6} \\ \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6} & \frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} & \frac{1}{3}+0-\frac{2}{6} \\ \frac{1}{3}+0-\frac{2}{6} & \frac{1}{3}+0-\frac{2}{6} & \frac{1}{3}+0+\frac{4}{6} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より$\mathbf{G}_3$が直交行列であることが確認できる。また、$\mathbf{G}_3\mathbf{G}_3^{T}$も同様に3次の単位行列となる。

n次の行列

Helmert変換を表す$n$次の行列を$\mathbf{G}_n$とするとき、$i$行目$j$行目をそれぞれ$\mathbf{g}_i, \mathbf{g}_j$とする。このとき、下記が成立すれば$\mathbf{G}_n$は直交行列であると考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{g}_i \cdot \mathbf{g}_j = 1 \quad (i=j) \\
\mathbf{g}_i \cdot \mathbf{g}_j = 0 \quad (i \neq j)
\end{align}
$$

まず$\mathbf{g}_i \cdot \mathbf{g}_j = 1 \quad (i=j)$について確認する。
$$
\large
\begin{align} \mathbf{g}_1 \cdot \mathbf{g}_1 &= \frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ … \\ 1 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ … \\ 1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \\
&= \frac{1}{n} = 1 \\
\mathbf{g}_2 \cdot \mathbf{g}_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2} (1+1) \\
&= 1
\end{align}
$$
$i=j=1, i=j=2$では上記のように計算できる。

同様に$i=j=k$行目を考えると下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{g}_k \cdot \mathbf{g}_k &= \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ 1 \\ -k+1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ 1 \\ -k+1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{k(k-1)} ( (k-1)+(-k+1)^2 ) \\
&= \frac{1}{k(k-1)} ( (k-1)+(k-1)(k-1) ) \\
&= \frac{1}{k(k-1)} ( (k-1)(1+k-1) ) \\
&= \frac{k(k-1)}{k(k-1)} = 1
\end{align}
$$

次に$\mathbf{g}_i \cdot \mathbf{g}_j = 0 \quad (i \neq j)$について確認する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{g}_1 \cdot \mathbf{g}_2 &= \frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ … \\ 1 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2n}} (1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) \\
&= 0
\end{align}
$$
$i=1, j=2$では上記のように計算できる。

同様に$i=1, 2$に対して$j=k$の場合を考えると下記のようになる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{g}_1 \cdot \mathbf{g}_k &= \frac{1}{\sqrt{n}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ … \\ 1 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ 1 \\ -k+1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{nk(k-1)}} ( (k-1)+(-k+1) ) \\
&= 0 \\
\mathbf{g}_2 \cdot \mathbf{g}_k &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{k(k-1)}}\left( \begin{array}{c} 1 \\ … \\ 1 \\ -k+1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2k(k-1)}} ( 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) ) \\
&= 0
\end{align}
$$
$i \neq j$の場合は、上記の$i=2, j=k$の例で確認したように$ij$ならば$j$のベクトルの要素が0でない項の和が0かつ、もう片方のベクトルの対応する要素は全て同じ値であることから、内積0が計算される。

ここまでの議論により、$\mathbf{G}_n$は直交行列であるということを示すことができる。