統計検定準1級問題解説 ~2019年6月実施 問9 標準ブラウン運動~

過去問題

過去問題は統計検定公式問題集が問題と解答例を公開しています。こちらを参照してください。


解答

[1] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{18}\ }$ : ②

$B_t$は標準ブラウン運動であるから、
・$B_0=0$
・各$t\ge 0$に対して、$B_t\sim N(0,\ t)$
・任意の$0=t_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n$に対して、
  $B_{t_0},\ B_{t_1}-B_{t_0},\ \dots\ ,\ B_{t_n}-B_{t_{n-1}}$は互いに独立である。
・任意の$0 \ge t \gt t+h$に対して、
  $B_{t+h}-B_t$の分布は$B_h-B_0$の分布と同じである。($B_{t+h}-B_t \sim N(0,\ h)$)
・任意の与えられた実現値において、$B_t$は確率$1$で$t$に関して連続

以上の性質から、
 $B_k-B_{k-1}\sim N(0,\ 1)$
 $\therefore\ x_k-x_{k-1}=\sigma(B_k-B_{k-1})\sim N(0,\ \sigma^2)$
となり、互いに独立である。このとき、モーメント法による$\sigma$の推計値は、
$$\begin{eqnarray}\hat\sigma^2&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})^2-\left\{\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\right\}^2\\&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})^2\quad\left(\because\ \frac1n\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\hat\mu=0\right)\end{eqnarray}$$観測データの$x_i$の増分の二乗の平均の計算結果から、$$\begin{eqnarray}\hat\sigma^2&=&\frac1{100}\sum_{k=1}^{100}(x_k-x_{k-1})^2=0.001224\\\therefore\quad\hat\sigma&=&\sqrt{0.001224}\fallingdotseq0.035\end{eqnarray}$$

[2] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{19}\ }$ : ③

$[1]$と同じ理由から、
 $B_{\frac k{10}}-B_{\frac{k-1}{10}}=B_{\frac k{10}}-B_{\left(\frac k{10}-\frac1{10}\right)}\sim N(0,\ 1/10)$
 $\therefore\ x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}}=\sigma(B_{\frac k{10}}-B_{\frac{k-1}{10}})\sim N(0,\ \sigma^2/10)$
となり、互いに独立である。このとき、モーメント法による$\sigma$の推計値は、$$\begin{eqnarray}\frac{\hat\sigma^2}{10}&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})^2\end{eqnarray}$$観測データの$x_i$の増分の二乗の平均の計算結果から、$$\begin{eqnarray}\frac{\hat\sigma^2}{10}&=&\frac1{1000}\sum_{k=1}^{1000}(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})^2=0.000595\\\therefore\quad\hat\sigma&=&\sqrt{10\times0.000595}\fallingdotseq0.077\end{eqnarray}$$

[3] 解答

$\boxed{ \ \mathsf{20}\ }$ : ③

$x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}}$と$y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}}$は、$2$次元の独立同一な正規分布に従い、
$$\begin{eqnarray}E[x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}}]=
E[y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}}]&=&0\\V[x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}}]&=&\sigma_1^2/10\\
V[y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}}]&=&\sigma_2^2/10\\\mathrm{Cov}\left[x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}},\ y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}}\right]&=&\sigma_1\sigma_2\rho/10\end{eqnarray}$$
となる。このとき、モーメント法による$\sigma$の推計値は、
$$\begin{eqnarray}\frac{\hat\sigma_1^2}{10}&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})^2\\\frac{\hat\sigma_2^2}{10}&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}})^2\\\frac{\hat\sigma_1\hat\sigma_2\hat\rho}{10}&=&\frac1n\sum_{k=1}^n(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})(y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}})\end{eqnarray}$$観測データの$x_i,y_i$の増分の二乗の平均と積和の平均の計算結果から、$$\begin{eqnarray}\frac{\hat\sigma_1^2}{10}&=&\frac1{1000}\sum_{k=1}^{1000}(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})^2=0.000595\\\frac{\hat\sigma_2^2}{10}&=&\frac1{1000}\sum_{k=1}^{1000}(y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}})^2=0.001008\\\frac{\hat\sigma_1\hat\sigma_2\hat\rho}{10}&=&\frac1{1000}\sum_{k=1}^{1000}(x_{\frac k{10}}-x_{\frac{k-1}{10}})(y_{\frac k{10}}-y_{\frac{k-1}{10}})=0.000292\\\therefore\quad\rho&=&\frac{0.000292}{\sqrt{0.000595\times0.001008}}\fallingdotseq0.377\end{eqnarray}$$


解説

ブラウン運動

各$t\in[0,\infty)$に対して、確率変数$B_t$が与えられたとき、その族$B=(B_t)_{t\ge0}$を確率過程という。$t$は時間を表すことが多く、確率過程は、時間とともに変動する偶発現象の数学モデルとして扱われる。
確率過程が以下の性質を持つとき、ブラウン運動という。
・$B_0=0$
・各$t\ge 0$に対して、$B_t\sim N(\mut,\ \sigma t)$(周辺分布)
・任意の$0=t_0<t_1<\cdots<t_{n-1}<t_n$に対して、確率変数$B_{t_0},\ B_{t_1}-B_{t_0},\ \dots\ ,\ B_{t_n}-B_{t_{n-1}}$は互いに独立である。(独立増分性)
・任意の$0 \ge t \gt t+h$に対して、
  $B_{t+h}-B_t$の分布は$B_h-B_0$の分布と同じである。($B_{t+h}-B_t \sim N(0,\ h)$)(定常増分性)
・任意の与えられた実現値において、$B_t$は確率$1$で$t$に関して連続